DESPLAZAMIENTOS EN LA RECTA NUMÉRICA, OPERACIONES CON ENTEROS
Los números racionales y sus operaciones.
TEMA: Desplazamientos en la recta numérica.
LOGRO: A partir de desplazamientos a la derecha e izquierda introduzco por convención los signos positivos y negativos.
Desplazamientos en la recta numérica:
Un cuerpo se desplaza cuando al moverse cambia de posición. Ejemplo:
Partiendo de la posición “0”, desplazarse cuatro posiciones hacia la izquierda y siete posiciones hacia la derecha.
Después de estos dos desplazamientos queda en la posición 3d.
Ejercicio: Represento en rectas numéricas los siguientes desplazamientos.
Pero tenga en cuenta que: Inicio en cero "0" y luego para hacer uno nuevo, me desplazo desde el punto a donde he llegado (Observo las gráficas con detenimiento).
a. Siete pasos a la izquierda y cinco pasos a la derecha.
b. Tres pasos a la derecha y seis pasos a la derecha.
c. Nueve pasos a la derecha y siete pasos a la izquierda.
d. Once pasos a la izquierda y cinco pasos a la derecha.
e. Dos pasos hacia la izquierda, cuatro hacia la derecha y seis hacia la derecha.
Para pensar: Después de tres desplazamientos con la misma magnitud y sentido, el cuerpo se encuentra 12 m. hacia la derecha. ¿Cuál es la magnitud y el sentido de cada desplazamiento
Desplazamientos positivos y negativos:
Las posiciones en la recta numérica hacia la derecha del origen son con signo positivo y las de la izquierda son con signo negativo, como también se llamará a los desplazamientos hacia la derecha positivos y hacia la izquierda negativos.
Ejemplo:
Pedro camina tres pasos hacia la derecha y luego cinco en la misma dirección ¿a cuántos pasos se encuentra de la posición inicial?.
Angie se desplaza 4 m. hacia la derecha y luego 7 m. hacia la izquierda. ¿A qué distancia se encuentra del punto de partida?
4 + ( – 7 ) = – 3
Edward se desplaza 3 m. hacia la izquierda y 5 m. más hacia la izquierda. ¿A que distancia se encuentra del punto de partida?.
– 3 + ( – 5 ) = – 8
Teniendo en cuenta que siempre el punto de Origen es CERO, que los desplazamientos a la izquierda son cantidades NEGATIVAS y que los desplazamientos a la derecha son cantidades POSITIVAS, observo con detenimiento la gráfica y saco mis propias conclusiones:
La siguiente operación, la puedo escribir de dos maneras:
– 3 + 7 – 9 = ó – 3 + 7 + (– 9) =
Ejercicio:
Efectúo con ayuda de la recta numérica las operaciones indicadas.
a. – 7 + (– 2 ) = Ver respuesta
b. – 4 + 13 = Ver respuesta
c. – 3 + (– 1 ) + 8 = Ver respuesta
d. – 4 + (– 1) + (– 3) + 9 = Ver respuesta
d. 12 + (– 14) =
e. 9 + 12 =
MÁS EJERCICIOS.
Para afianzar lo aprendido hasta el momento, desarrollo la
Si desea jugar con los números enteros, de Click aquí.
TEMA: Conjunto de los números enteros ( Z ).
LOGRO: Reconozco el conjunto de los números enteros como el conjunto formado por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero.
Ejercicio: Este ejercicio nos permite distinguir las cantidades positivas y negativas.
Analiza y coloque antes de la cantidad – o + de acuerdo con cada enunciado. Explique en cada caso la selección.
- Una deuda de $ 7.800,oo
- 5 kilómetros al norte.
- 3 kilómetros al este.
- La temperatura en San José del Guaviare es de 28°C.
- Un retiro del Banco Popular de $ 120.000,oo
- 17 kilómetros al sur.
- 12 kilómetros al oeste
- Alaska está a 10°C bajo cero.
Ejercicio:
Crea en su cuaderno un extracto bancario y tenga en cuenta la siguiente información.
Después de contar con un saldo de $54.000,oo ; completa el siguiente extracto bancario con la siguiente información:
- Deposita a la cuenta $36.000,oo el día 25 de febrero
- Retira $58.000,oo el 12 de marzo.
- Retira $42.000,oo el 29 del mismo mes.
- Deposita $25.000,oo el 09 de abril.
- Retira $37.000,oo el 17 de abril.
- Consigna $23.000,oo el 21 de abril
Responda.
¿Cuántas veces se presentó un sobregiro? y cuál es la última cantidad que aparece en el extracto?.
El conjunto de los números enteros ( Z ) está conformado por tres subconjuntos que son:
Z+ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} son los enteros positivos.
{ 0 }, Conjunto unitario “cero”. Entero que no se considera positivo ni negativo.
Z- = { -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, . . .} son los enteros negativos.
Ejercicio:
a. Escribe los enteros que cumplan las condiciones indicadas en cada caso:
- Mayores que –5 y menores que 7
- Mayores que –8 y menores que -1
- Menores que 3 y mayores que –6
- Mayores que -4 y menores que 10
b. Ordeno de menor a mayor las siguientes cantidades.
a. – 8, 9, 3, – 5, – 1, 9, – 9, 0, 6.
b. 6, – 7, – 1, 8, 2, 1, – 10, – 4, – 2, 7.
c. –12, 14, – 3, – 5, 10, – 15, – 8, 7, 0, 9, – 1, – 2, 6.
Opuesto de un número entero:
Un número entero y su opuesto tienen el mismo valor numérico pero diferente signo ya que se encuentran a la misma distancia del cero. Ejemplo
El opuesto de 5 es –5, El opuesto de –11 es 11.
Ejercicio: Hallar el opuesto de los siguientes números:
a. – 3 b. – 8 c. 4
d. – 198 e. 0 f. – 35
Valor absoluto de un número entero:
Si un número es positivo, el valor absoluto es el mismo número. En cambio si el número es negativo, su valor absoluto es el opuesto. Esto nos indica que el valor absoluto de cualquier número entero, sea positivo o negativo siempre será positivo.
El valor absoluto se denota escribiendo el número entre dos barras verticales, así:
| -6 | = 6 se lee: valor absoluto de menos seis es seis.
| 6 | = 6 se lee: valor absoluto de seis es seis.
Ejercicio: Escribo el valor absoluto de los siguientes números:
a. 0 b. 34 c. – 2
d. 2 e. – 10 f. – 104
TEMA: Suma o adición de números enteros.
LOGRO: Deduzco un procedimiento para sumar números enteros con base en los desplazamientos hechos en los talleres anteriores.
ACTIVIDAD: Tengo en cuenta el tema: Desplazamientos en la recta numérica.
Ejercicio:
Aplico el método para efectuar las siguientes sumas:
a. –3 + 5 + (-5) + 7 + 2 =
b. 7 + (-9) + 4 + (-7) =
c. –15 + (-6) =
Respondo a las siguientes preguntas:
a. ¿Cómo sumaría dos o más enteros positivos? Demuestro con un ejemplo.
b. ¿Cómo sumaría dos o más enteros negativos? Demuestro con un ejemplo.
c. ¿Cómo sumaría dos o más enteros con diferente signo? Demuestre con un ejemplo.
En la adición de dos números enteros se presentan dos casos:
- Si los dos números son de igual signo, la suma se obtiene adicionando sus valores absolutos y escribiéndole al resultado el signo de los números.
- Si los dos números son de signo diferente, la suma se obtiene restando sus valores absolutos (El mayor del menor), y colocándole al resultado el signo del número con el mayor valor absoluto.
Ejercicio: Efectúo las siguientes adiciones:
a. –24 + (-17) = b. 8 + (-23) = c. c. 13 + (-25) = | d. 31 + (-6) = e. 13 + 25 = f. 16 + (-12) = | g. –8 + 23 = h. –13 + (-25) = i. –16 + (-12) = | j. –8 + (-23) = k. –13 + 25 = l. –16 + 12 = |
Ejercicio: Transcriba la siguiente tabla en su cuaderno y complete las siguientes tablas aditivas, teniendo en cuenta de sumar los valores de la primera columna y la primera fila, tal como lo demuestra el ejemplo.
Ejercicio: Desarrollo los siguientes problemas:
a. Un ciclista recorrió 31 kilómetros hacia el este y luego 50 kilómetros hacia el este. ¿Cuál es ahora su posición con respecto al punto de partida?
b. Averigüen de cuántos años murió Sócrates, filósofo griego, que nació en Atenas en el –470 y murió en el 399.
c. Oscar compra 120 naranjas a $6.000,oo la docena y las vende a $70,oo cada una. Si se le dañaron 35 naranjas, ¿a cuánto asciende la ganancia o la pérdida?
d. Creo un problema de suma donde intervengan enteros positivos y negativos; y lo doy a conocer a otros grupos para que lo desarrollen.
Para pensar: Encuentre la menor suma que se puede obtener al sumar tres de los siguientes números: 7, 25, -1, 12, -3 .
TEMA: Resta o sustracción de números enteros.
LOGRO: Reconozco la sustracción de enteros como una adición en la que uno de los sumandos es el inverso aditivo del sustraendo.
Definición de la resta o sustracción:
La resta o sustracción es la operación inversa de la suma, por lo tanto, restar dos números enteros equivale a sumar el minuendo con el opuesto del sustraendo.
5 + (-1) = 4
7 - ( - 4 ) =
7 + 4 = 11
- Existe otra manera de efectuar estas clases de operaciones?. De un ejemplo.
- Conoces la ley o regla de los signos?.
- Cuándo se aplicaría la ley de los signos en la sustracción?. De un ejemplo.
Ejercicio: De acuerdo a lo observado anteriormente desarrollo las siguientes sustracciones:
a. 4 – 2 = b. 42 – 23 = c. 101 – (–101) = d. –43 – 18 = | e. –4 – 7 = f. 19 – 23 = g. 46 – 58 = h. 106 – 49 = | i. 12 – (–5) = j. 40 – (–51) = k. – 29 – 36 = l. 49 – 106 = | m. –23 – (–18) = n. – 16 – (–21) = o. 106 – (–49) = p. 29 – (–32) = |
Ejercicio: reproduce la siguiente tabla de resta en tu cuaderno, complétala y con base en ella responde las preguntas que aparecen luego:
- | -4 | -2 | 0 | 3 | 5 |
-5 | |||||
-4 | |||||
0 | |||||
3 | |||||
5 |
a. ¿Es siempre la diferencia de dos números enteros otro números entero?.
b. ¿Son iguales los resultados que obtienes al restar 3 de 5 que 5 de 3?
c. El resultado que obtienes de la operación (5 – 3) – (– 2) es el mismo que obtienes al resolver 5 – (3 – (– 2) )? ¿Qué puedes deducir de esta observación.
d. ¿Existe un elemento neutro para la resta en Z?.
Ejercicio: Desarrollo los siguientes problemas:
a. Nabucodonosor II, rey de Babilonia, reinó de –605 a –562. El destruyó Jerusalén en –586. ¿Cuál fue la duración de su reinado?.
b. Luis tiene $350.000,oo. Juanita le pide prestado $158.000,oo; Sergio, $121.000,oo, Elizabeth, $180.000,oo. ¿Cuánto le falta para poder hacer todos los préstamos?.
c. Crea un problema de resta donde intervengan enteros positivos y negativos; y delo a conocer a otros grupos para que lo desarrollen.
Para pensar: Complete con números enteros el siguiente cuadrado mágico, si la suma de sus filas, sus columnas y sus diagonales es – 10.
5 | -9 | 2 | |
0 | -3 | ||
-2 | -4 | ||
-7 | -10 |
TEMA: Los signos de agrupación.
LOGRO: Observo con detenimiento los signos que agrupan las cantidades, los suprimo aplicando la ley de los signos y efectúo la operación de suma y resta.
Los signos de agrupación:
Los signos de o paréntesis son de cuatro clases:
( ) = Paréntesis ordinario.
[ ] =Paréntesis angular o corchete.
{} = Llaves y
----- = Vínculo o barra.
Estos se emplean para indicar que las cantidades encerrada en ellos deben considerarse como un todo, o sea, como una sola cantidad.
Los corchetes, llaves y vínculos tienen la misma significación que los paréntesis.
Supresión de signos de agrupación:
Ä Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja el mismo signo que tengan a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
Ä Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo – se cambia el signo a cada una de las cantidades que se hallan dentro de él.
Cuando unos signos de agrupación están incluidos dentro de otros, se suprime uno en cada paso empezando por el más interior.
Veamos el siguiente ejemplo:
3 + {– 8 + 7 – [4 + 2 – (3 – 6 – 5) + 1]}
Primero se suprimen los paréntesis teniendo en cuenta de aplicar la ley de los signos.
3 + {– 8 + 7 – [4 + 2 – 3 + 6 + 5) + 1]}
Luego se suprimen los corchetes.
3 + {– 8 + 7 – 4 – 2 + 3 – 6 – 5 + 1}
Ahora se suprimen las llaves.
3 – 8 + 7 – 4 – 2 + 3 – 6 – 5 + 1
Y por último, se suman los positivos y los negativos.
14 – 25
– 11
a. 4 + {– 6 + 3 – [– 5 + 6 – (7 – 2 – 8) + 9]}
b. – {9 + 2 + [– 8 + 3 + (5 + 9 – 2) +3 – (–5 + 3 – 1)]}
c. {5 –9 – [8 + 10 – (7 + 3 – 9 + 5) + 9 – 7 –11]}
d. -5 + 3 – [– 8 + 1 – (4 +3 – 7) + 9 – 3 – 6 – (2 + 4 – 7 – 8) ]
e. 2 + {3 – 5 – 9 – [– 7 + 3 – 8 – (3 – 9 + 10 – 7) + 5 – 6 – 9 + 6]}
f. 3 + 5 – 6 {– 5 + 9 – [15 – 7 – 8 + (6 + 2 – 11) – 4 + 9 – 8 – 4 – (3 + 5 + 8 + 6)]}
TEMA: Ecuaciones aditivas en los números enteros.
LOGRO: Diferencio entre ecuaciones, inecuaciones y otros tipos de condiciones.
Ejercicio: Adivina los números:
a. Qué número se le debe sumar a –3 para que dé 7?.
b. Qué número se debe sumar a –7 para que dé 24?.
c. Qué número se debe restar de –3 para obtener 5?.
d. De qué número se debe restar 4 para obtener –2?.
Escribo en el cuadro la cantidad que corresponda para que la igualdad se cumpla:
a. 36 + o = 4
b. o - 4 = – 7
c. –7 + 3 – o = 12 – 8
d. 11 + o = –7 – (–12)
e. –31 – (– 14) – o = – 6 + 7 – 9
Qué es una ecuación?
De acuerdo a lo desarrollado en el ejercicio anterior, de su propio concepto sobre ecuación. Y compare con el siguiente concepto:
Una ecuación es una igualdad condicionada al valor que debe tomar la incógnita que hace la igualdad verdadera.
Tranquilo (a): Podemos afirmar que esta definición y
la que tu escribiste son las mismas. . .
Cómo solucionar una ecuación aditiva:
Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor de la cantidad desconocida.
Ejemplo:
X + 16 = 14 X = 14 + ( -16) X = -2 | Observo con detenimiento la solución de cada ecuación y elaboro pasos que me permitan encontrar el valor de la incógnita. | X - 31 = 11 X + ( - 31) = 11 X = 11 + 31 X = 42 |
X + ( - 12) = -7 X = -7 + 12 X = 5 | X – ( --11) = - 8 X + 11 = - 8 X = -8 + (-11) X = - 19 | |
15 + (- X) = - 12 - X = - 12 + (-15) - X = - 27 -X . (-1) = - 27 . (-1) X = 27 |
Ejercicio: Resuelvo las siguientes ecuaciones:
a. X + 17 = 36 b. X + (-23) = 81 c. X – 26 = - 63 d. X + (-19) = -63 | e. X + (-15) = -21 f. X – (-32) = - 43 g. X – (-54) = 39 h. –21 = 43 - X | i. 7 – X = 12 j. 4 + (- X) = - 15 k. x – (- 17) = -19 l. –13 = 7 + (-X) |
Pensamiento geométrico: Divide en dos partes un rectángulo de 16 cm. por 25 cm. y con ellas arma un cuadrado.
Ejercicio:
Para cada ejercicio planteo una ecuación y le resuelvo.
- María giró un cheque por $240.000,oo dejando un saldo en rojo de $25.000,oo. ¿Cuánto tenía?.
- La biblioteca más famosa de la antigüedad fue la de Alejandría que usó desde el año 250 a.C. hasta el año 47 a.C., cuando el fuego la destruyó. ¿Cuántos años duró?.
- Las pulsaciones del corazón de una persona son 70 por minuto. Cuando Carlos practica atletismo, su ritmo cardiaco aumenta a 120 pulsaciones por minuto. ¿En cuantas pulsaciones aumenta el ritmo cardiaco de Carlos?.
- Eratóstenes fue el primero en medir la longitud de la circunferencia de la Tierra. Nació en el año 275 a.C. y murió en el año 194 a.C. ¿Cuántos años vivió?.
- De los 245 escalones que hay que subir para llegar a la cúpula de una catedral, a Lucía le faltan 128. ¿Cuántos escalones ha subido?.
- En 1856 se encontraron en Alemania restos humanos fósiles. Se trataba de un miembro de un grupo conocido como Neandertal, que vivió desde hace unos 30.000 años. ¿Cuánto tiempo duró este grupo humano?
Utilizo una ecuación que me permita encontrar el número desconocido en cada literal.
- - Dos veces un número menos 18 es –4. ¿Cuál es el número.
- - La suma de un número con el doble del mismo es (-51). ¿Cuál es el número?.
TEMA: Multiplicación de números enteros.
LOGRO: Adquiero habilidad y capacidad para calcular el producto de los números enteros, deduciendo el signo de los mismos.
En la multiplicación de números enteros se pueden presentar los siguientes casos:
1. Cuando los factores son enteros positivos.
2. Cuando los factores son enteros negativos y
3. Cuando los factores son de diferente signo.
Para hallar el producto rápidamente en la multiplicación de números enteros, aplicamos la ley de los signos, así:
+ - + - | . . . . | + - - + | = = = = | + + - - |
Ejercicio: De acuerdo a los casos y a la ley de los signos, observe con detenimiento los siguientes tres recuadros y de su propio concepto al respecto.
-6 x (-3) = 18 -3 x (-7) x (-4) = - 84 (-9) (-2) (-5) (-8) = 720 | ||
4 x 3 = 12 7 x 8 x 5 = 280 6 x 2 x 3 x 9 = 324 | Ojo: No olvide aplicar la ley de los signos | -8 x 6 = - 42 -9 x 7 x (-5) = 315 3 . (-4) .8 . (-7) = 672 (5)(-7)(-3)(-2)(6) = -1260 |
Ejercicio: Efectuar las siguientes multiplicaciones:
a. 5 x 6 = b. –7 x 9 = c. –1 x (-2) x (-20) x 40= d. (-178) x (-413) = | e. (-9) x (-6) = f. 20 x (-1) = g. –11 x (-3) x (-1)x 8 x (-2) = h. –3 x 9 = | i. 7 x (-9) = j. 7 x (-3) x (-1) = k. 9 x 0 = l. –4 x (-3) x 2 x (-1) = |
Para pensar: Ubique el número 1 en cinco de los nueve cuadros y –1, en los demás, de modo que los números en cada fila, en cada columna y en cada diagonal sea 1.
TEMA: División de números enteros.
LOGRO: Adquiero habilidad y capacidad para calcular el cociente de los números enteros.
Para que el cociente sea un número entero se debe cumplir que el dividendo sea múltiplo del divisor como en los siguientes ejemplos:
a. 64 ÷ 8 = 8 , porque 8 x 8 = 64
b. 75 ÷ 5 = 15 , porque 15 . 5 = 75
c. –18 ÷ 9 = - 2, porque –2 . 9 = -18
d. –24 ÷ (-12) = 2 , porque 2 x (–12)= -24
Observando los anteriores ejemplos, podemos advertir que la división satisface las mismas normas que la multiplicación en cuanto a signos, pues al dividir dos enteros del mismo signo (los dos positivos o los dos negativos), el cociente es positivo, mientras que si el dividendo es positivo y el divisor es negativo o viceversa, el cociente es negativo.
Ejercicio: Efectúa las siguientes divisiones:
a. –48 ÷ 6 = b. –924 ÷ 11 = c. 432 ÷ 9 = d. –276 ÷ (-4) = | e. 364 ÷ (-52) = f. 625 ÷ (-5) = g. 705 ÷ (-5) = h. –108 ÷ (-12) = | i. 4872 ÷ (-4) = j. –3 ÷ (-1) = k. 216 ÷ (-24) = l. – 6773 ÷ (-521) = |
Ejercicio: Responde a las siguientes preguntas que hacen referencia al cero dentro de la división:
a. ¿Puedes encontrar un número que multiplicado por 40 te dé 0? Indica la división que se deduce de esta pregunta.
b. ¿Puedes encontrar un número que multiplicado por 0 te dé 40? ¿Tiene 40 ÷ 0 solución?.
c. Ensaya la división de otros números por 0. ¿Es posible la división?.
d. Puedes nombrar números que multiplicados por 0 te den 0? ¿Qué puedes decir de la división 0 ÷ 0 ?
Para pensar: Realicen el siguiente cálculo:
10 – 9 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 + 2 – 1
1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9
Pensamiento Lógico: Las Vegas es el lugar para jugar en los Estados Unidos. Juan iba saliendo de un casino cuando un hombre se le acercó y le dijo: “Le apuesto 5 dólares a que si usted me da 10, yo le daré 15”. ¿Qué crees que hizo Juan?
TEMA: Ecuaciones multiplicativas.
LOGRO: Hallo el valor de la incógnita de acuerdo a los casos aplicados para desarrollar ecuaciones multiplicativas.
Exploración: Adivina de cuál número se está hablando:
a. Si se multiplica por –15 da 30.
b. Si se divide entre 2 da –18.
c. Divide a –40 en 8 partes iguales.
d. Si se multiplica por –5 da –20
Qué es una ecuación multiplicativa?: Una ecuación multiplicativa es una igualdad condicionada a un determinado valor de la incógnita que figura como factor.
Cuando se reemplaza la incógnita por su valor, la igualdad se cumple.
Son ecuaciones multiplicativas las expresiones:
3 . X = -18 | -9 X = 45 | X = 18 2 | 15 = 3 X |
De acuerdo a lo leído (qué es una ecuación multiplicativa) y a lo observado (expresiones de ecuaciones multiplicativas), de su propio concepto o saque sus propias conclusiones.
Solución de ecuaciones multiplicativas:
Observa detenidamente el desarrollo de cada una de las ecuaciones multiplicativas, escriba los posibles pasos que permitan resolverla y haz el deber de desarrollar aquellas que se encuentran como ejercicios. Ah¡ y no olvide que también se aplican la ley de los signos.
1. Cuando la incógnita es un factor:
Ejemplo:
- 5x = 10
x = 10
- 5
x = - 2
Ejercicio: Resuelvo las siguientes ecuaciones:
a. –3x = - 72 b. 5x = 105 c. –9x = 54 | d. 16x = -256 e. –75x = 15 f. 8x = - 36 |
2. Cuando la incógnita es dividendo:
Ejemplo:
X = 7
-5
x = 7 . (-5)
x = - 35
Ejercicio: Resuelvo las siguientes ecuaciones:
a. X = 104 2 b. X = -41 -3 c. X = 48 -12 | d. X = -18 -7 e. X = 71 -15 f. X = - 39 50 |
3. La incógnita es divisor:
Ejemplo:
18 = -2
x
x = 18
-2
x = - 9
Ejercicio: Resuelvo las siguientes ecuaciones:
a. 48 = -12 x b. 45 = -3 x c. –120 = -24 x | d. -63 = -9 x e. 124 = -4 x f. - 9 = -30 x |
Para pensar: Si multiplicamos la palabra AMOR por nueve, ésta se invierte y obtenemos como producto la palabra ROMA; en forma abreviada: Hallo el número representado por la palabra AMOR. Letras iguales representan números iguales y letras diferentes representan números diferentes | A M O R x 9 R O M A |
El producto de factores iguales origina la operación llamada potenciación.
Ejemplo:
4 . 4 . 4 = 43 = 64
-1 . (-1) . (-1) . (-1) = (-1)4 = 1
-5 . (-5) . (-5) = -53 = -125
Recordemos los términos de la potenciación: Escribo los términos según el siguiente ejemplo:
Observo con detenimiento el desarrollo de algunas potencias y luego contesto las preguntas:
42 = 4 . 4 = 16 33 = 3 . 3 . 3 = 27 | (-4)2 = (-4) . (-4) = 16 (-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = -27 | -(4)2 = - (4 . 4) = -16 -33 = -27 |
a. Que diferencia existe entre las expresiones (-4)2 y – (4)2 ? ¿Por qué los resultados en ambos casos son distintos?
b. ¿Cómo es el signo del resultado en cada uno de los siguientes casos? Cita dos ejemplos en cada uno:
Ø Cuando la base es positiva y el exponente es par.
Ø Cuando la base es negativa y el exponente es par.
Ø Cuando la base es positiva y el exponente es impar.
Ø Cuando la base es negativa y el exponente es impar.
Ejercicio: Hallo el valor de las siguientes expresiones aplicando lo aprendido:
a. (-5)2 = b. (-10)5 = c. 52 = d. 24 = e. 83 = f. 36 = | g. (-2)4 = h. 18 = i. 105 = j. (-1)8 = k. (-8)3 = l. (-6)6 = |
Ejercicio: Deduzco las propiedades de la potenciación a partir de los siguientes ejemplos:
Propiedad 1:
32 . 34 = (3 . 3) . (3 . 3 . 3 . 3) = 36
(-4)3 . (-4)5 . (-4) = (-4 . –4 . –4) (-4 . –4 . –4 . –4 . –4) (-4) = (-4)9
Propiedad 2:
(4 . 2)4 =(4 . 2) (4.2) (4.2) (4.2)=(4 . 4 . 4 . 4) (2 . 2 . 2 . 2)= 44 . 24
(-5 . 3)2 = (-5 . 3) (-5 . 3) = (-5 . –5) (3 . 3) = (-5)2 . 32
Propiedad 3:
Propiedad 4:
( 34 )2 = 34 . 34 = (3 . 3 . 3 . 3) (3 . 3 . 3 . 3) = 38
( 83 )3 = 83 .83 . 83 = (8 . 8 . 8) (8 . 8 . 8) (8 . 8 . 8) = 89
Propiedad 5:
3 3 . 3 . 3 . 3 . 3 35
7 7 . 7 . 7 . 7 . 7 73
Ejercicio: Aplico las propiedades y calculo el resultado:
a. 55 . 53 . 54 = b. (35 . 8)3 = c. a5 ÷ a = a3 d. a m , donde m y n son naturales y a n m > n e. (-5)5 . (-5)4 . (-5)2 . (-5) = (-5)4 . (-5)5 | f. a m . a n = a. (-7)5 . (4)4 = -7 . 43 4 h. 65 = 75 i. 53 . 65 . 7 = 5 . 64 3 j. (-1)5 ÷ (-1)3 k. ( am ) n , con m y n naturales. |
Radicación de números enteros:
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Raíz de un número que elevado a la potencia que indica el índice reproduce la cantidad subradical. Es decir que la radicación permite encontrar la base de una potencia.
Un problema de radicación:
En una isla del Caribe había serpientes venenosas en gran abundancia. Para librarse de ellas se decidió llevar a la isla el pájaro serpentario, destructor furibundo de estas serpientes. en efecto, poco tiempo después el número de serpientes había disminuido considerablemente; para este entonces el total de animales de estas dos especies era el mismo y además su producto era 8100. ¿Cuántas serpientes y pájaros vivían hasta ese momento?.
Para responder a esta pregunta, basta con encontrar un número que multiplicado por sí mismo nos dé como resultado 8100. Tal número es 90 pues 90 x 90 = 8100, lo que es equivalente, (90)2 = 8100.
Decimos en este caso que 90 es la raíz cuadrada de 8100.
Ejercicio:
Hallar las raíces cuadradas de los siguientes números:
a. 121 b. 225 c. 361 d. 256 e. 400 f. 169 g. 1 h. 49
i. El patio de una casa es cuadrado y está enlosado con 1024 baldosas cuadradas. ¿Cuántas baldosas se necesitan en cada fila?.
j. En una huerta cuadrada hay cultivadas 2704 coles perfectamente alineadas, ¿Cuántas coles hay en cada línea horizontal o vertical?.
k. Un ingeniero de sistemas descubrió en su computador un virus que también se multiplicaba cada minuto. Al cabo de cuatro minutos observó que había 625 copias del virus, ¿Cuántas copias de cada programa se producen en cada minuto?.
Debemos tener en cuenta la siguiente regla general para el signo de la raíz:
- Si el índice es impar, la raíz tiene el mismo signo del radicando o subradical.
- Si el índice es par y el radicando o subradical es negativo, la raíz no existe.
- Si el índice es par y el radicando o el subradical es positivo, las raíces son dos números enteros opuestos.
Ejercicio:
Apoyado en la definición de las reglas de la radicación en los números enteros con respecto al signo, encuentro el valor de la raíz.
a. Raíz cuadrada de – 25.
b. Raíz cuadrada de – 4.
c. Raíz tercera de 27.
d. Raíz tercera de – 1.
e. Raíz cuadrada de – 49.
f. Raíz cúbica de – 8.
g. Raíz cuarta de – 16.
h. Raíz quinta de – 253.
i. Raíz cuadrada de – 36.
j. Raíz cúbica de – 64.
k. Raíz cuadrada de – 64.
l. Raíz cúbica de – 125.
m. Raíz cuarta de – 81.
n. Raíz quinta de – 32.
Para pensar:
Oscar subió un ascensor de un edificio. Subió 3 pisos, bajo 5 pisos, subió 7 pisos y bajó 9 pisos. Se encontró en el piso 23. ¿En qué piso estaba Oscar cuando entró al ascensor?.
